Entraînement Maths S01 (propre)

🎯 Séquence 01 — au programme

Consoliderdérivation + exponentielle (1ʳᵉ)

Découvrircontinuité

TVI + corollaire

balayage et dichotomie

Nouveaulogarithme népérien (ln)

🧠 Feuille de route

III — Continuité (Exemples + Exercice 4)

III.2 — Résolution f(x)=k

III — Applications du TVI (Q1, Q2, Q3)

IV — Logarithme népérien

Continuité — approche intuitive

Continue sur I

tracer la courbe sans lever le crayon

Propriété (admise)

f dérivable sur I ⟹ f continue sur I

Attentionréciproque FAUSSE

|x| continue mais non dérivable en 0

Fonctions usuelles continues

sur ℝpolynômes, |x|, exp

√xsur [0;+∞[

1xsur ]−∞;0[ et ]0;+∞[

opérations + − × / et composition -> continue

Exemples 1–3 (lecture graphique)

Ex.1exp continue sur ℝ

Ex.21x continue sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[

non continue sur ℝ* (2 morceaux)

Ex.3E(x) partie entière non continue

saute à chaque entier

Exercice 4 — f par morceaux

f(x) = 3x+1 si x<2 ; 2x−1 si x≥2

Sur chaque morceauaffine donc continue

Raccord en x=2:

lim (x→2⁻) f	=	3·2 + 1
	=	7

f(2) = 2·2 − 1 = 3

7 ≠ 3 -> saut en x=2

-> f non continue sur ℝ

TVI (admis) — existence

f continue sur [a;b]

k entre f(a) et f(b)

-> ∃ au moins un α ∈ [a;b], f(α)=k

Corollaire du TVI — unicité

f continue sur [a;b]

+ f strictement monotone (↗ ou ↘)

+ k entre f(a) et f(b)

-> ∃ ! α unique, f(α)=k

Cas k = 0

« k entre f(a),f(b) »

-> f(a) et f(b) de signes contraires

Exemple — « rédaction obligatoire »

f sur [−10;5], strict. ↘

f(−10)=3 , f(5)=−2

montrer : f(x)=0 solution unique

Les 3 conditions

① f continue sur [−10;5]

② f strict. décroissante

③ f(−10)=3 , f(5)=−2 -> 0 ∈ [−2;3]

(signes contraires)

-> ∃ ! α ∈ [−10;5], f(α)=0

🧠 La rédaction à recopier

① continue

② strict. monotone (le sens !)

③ k entre f(a) et f(b)

-> phrase du corollaire

Q1 — f(x) = (x+2)·e^−0,5x

a) variations

b) f(x)=0,1 unique sur [9;10]

c) encadrement à 10⁻²

a) Variations sur ℝ

Dérivable(produit : affine × exp)

f′(x)	=	1·e^−0,5x + (x+2)·(−0,5)e^−0,5x
	=	e^−0,5x[1 − 0,5(x+2)]
	=	e^−0,5x·(−x2)

Signee^−0,5x > 0

signe de f′ = signe de −x

f′(x) ≥ 0 ⟺ x ≤ 0

x	−∞	0	+∞
f′(x)	+	0	−
f	↗	2	↘

b) Existence & unicité sur [9;10]

Corollaire TVI— 3 conditions :

f continue (car dérivable)

f strict. ↘ sur [9;10] (⊂ [0;+∞[)

f(9) = 11e^−4,5 ≈ 0,122

f(10) = 12e⁻⁵ ≈ 0,081

0,1 ∈ [f(10) ; f(9)]

-> ∃ ! α ∈ [9;10], f(α)=0,1

c) Encadrement (balayage)

f(9,4)≈0,1037 > 0,1

f(9,5)≈0,0995 < 0,1

-> 9,4 < α < 9,5

f(9,48)≈0,1003 ; f(9,49)≈0,0999

-> 9,48 < α < 9,49 (α ≈ 9,49)

Q2 — (E) : 2(x−1)e^x−1 = x² sur ]−∞;2]

montrer : (E) a une solution unique α

On posef(x) = 2(x−1)e^x−1 − x²

a) Variations

Dérivablesur ℝ (somme / produit)

On poseu = (x−1)e^x−1 :

u′	=	e^x−1 + (x−1)e^x−1
	=	x e^x−1

f′(x)	=	2x e^x−1 − 2x
	=	2x(e^x−1 − 1)

Signee^x−1−1>0 ⟺ x>1 ; 2x>0 ⟺ x>0

x	−∞	0	1	2
2x	−	0	+	+
e^x−1−1	−	−	0	+
f′	+	0	−	0	+
f	↗	−2e⁻¹	↘	−1	↗

f(0) = −2e⁻¹ · f(1) = −1 · f(2) = 2e−4

b) Existence & unicité sur ]−∞;2]

On découpeselon le tableau :

]−∞;0]f ↗ jusqu'à −2e⁻¹ < 0

-> pas de solution

[0;1]f de −2e⁻¹ à −1, négatif

-> pas de solution

[1;2]continue + strict.↗

f(1)=−1<0 , f(2)=2e−4≈1,44>0

-> ∃ ! α ∈ [1;2]

-> (E) : α unique, 1 < α < 2

c) Algorithme = dichotomie

test f(a)·f(m) < 0

m = a+b2 · précision 10⁻ⁿ

Q3 — f(x) = −x⁴ + 2x³ + 3x + 1 sur ]−∞;3]

a) f′, f″

b) variations de f′ + α unique

c) signe de f′ · d) variations de f · e) « max ≈ 1,75 ? »

a) Dérivées (f polynôme)

f′(x) = −4x³ + 6x² + 3

f″(x)	=	−12x² + 12x
	=	12x(−x+1)

b) Étude de f′ (signe de f″)

f″ du signe de x(−x+1) : annule en 0 et 1

f′(0)=3 · f′(1)=5 · f′(3)=−51

f′ >0 sur ]−∞;1], puis strict. ↘ sur [1;3]

-> ∃ ! α, f′(α)=0 , 1 < α < 2

c) d) e)

x	−∞	α	3
f′(x)	+	0	−
f	↗	f(α)	↘

-> f maximum en α

α ≈ 1,75 -> _e)_ affirmation vraie

IV — Définition du logarithme népérien

pour a>0, e^x=a a une solution unique

notée ln(a)

ln : ]0;+∞[ → ℝ

défini QUE pour x > 0

attentionln x² ≠ (ln x)²

Conséquences

e^x=a ⟺ x=ln a

ln(e^x) = x

e^{ln x} = x

ln 1 = 0 · ln e = 1 · ln(1e) = −1

exp et ln réciproques

courbes symétriques / droite y = x

Relation fonctionnelle

ln(x·y) = ln x + ln y

le ln transforme les produits -> sommes

Propriétés algébriques (x,y>0)

ln(1x) = −ln x

ln(xy) = ln x − ln y

ln√x = 12 ln x

ln(xⁿ) = n ln x

🎓 Dérivée du ln (ROC)

(ln x)′ = 1x sur ]0;+∞[

Démoon pose f(x) = e^{ln x} = x :

f′(x)	=	(ln x)′·e^{ln x}
	=	(ln x)′·x

et f′ = 1

-> (ln x)′·x = 1 -> (ln x)′ = 1x ∎

Variations

(ln x)′ = 1x > 0

-> ln strict. croissante

ln a<ln b ⟺ a<b · ln x<0 ⟺ 0<x<1

Application 1 — transformer avec le ln

ln 6 = ln 2 + ln 3

ln(23) = ln 2 − ln 3

ln(112) = −2ln 2 − ln 3

ln 72 = 3 ln 2 + 2 ln 3

1b) A et B

A	=	ln(3−√5) + ln(3+√5)
	=	ln[(3−√5)(3+√5)]
	=	ln(9−5)
	=	ln 4

-> A = ln 4

B	=	ln e² − ln(2e)
	=	2 − (ln 2 − 1)
	=	3 − ln 2

-> B = 3 − ln 2

2) écrire B = ln(C(x))

B	=	ln(x+3) − 2ln(x−1)
	=	ln(x+3) − ln((x−1)²)
	=	ln(x+3(x−1)²)

-> C(x) = x+3(x−1)²

3) f(x) = x ln x

f(1e) = −1e

f(√e) = √e2

f(e√e) = (32)·e√e

Application 2 — résoudre dans ℝ

a) e^2x−1>4 · b) ln x=−5 · c) (ln x)²=4

d) 1−2ln x ≤ −1 · e) e^2x=−1

a) b) c)

a)e^2x−1>4 ⟺ 2x−1>ln 4 ⟺ x> 12 + ln 2

-> S = ]12 + ln 2 ; +∞[

b)x>0 ; ln x=−5 ⟺ x=e⁻⁵

-> S = { e⁻⁵ }

c)x>0 ; ln x=2 ou −2 ⟺ x=e² ou e⁻²

-> S = { e⁻² ; e² }

d) e)

d)ln x ≥ 1 (÷ par −2<0 : sens change)

⟺ x≥e -> S = [e ; +∞[

e)e^2x > 0 toujours or −1<0

-> S = ∅

Application — études de fonctions

1) f = x − ln x

2) f = 1x + ln x (sur ]0;+∞[)

1) f(x) = x − ln x

f′(x)	=	1 − 1x
	=	x−1x

x>0 -> signe de x−1 (annule en 1)

min f(1) = 1 − ln 1 = 1

lim (0⁺) = +∞ · lim (+∞) = +∞

x	0	1	+∞
f′(x)	−	0	+
f	+∞	1	+∞

Signemin = 1 > 0 -> f(x) > 0

soit x > ln x ∀x>0

2) f(x) = 1/x + ln x

f′(x)	=	−1x² + 1x
	=	x−1x²

min f(1) = 1 · même tableau ↘ 1 ↗

Application — composer par ln

1) 7^x=2 · 2) x⁵<3

3a) (25)ⁿ<10⁻³ · 3b) 0,9ⁿ≤0,1

1) et 2)

1)7^x=2 -> x·ln 7 = ln 2

-> x = ln 2ln 7 (≈ 0,356)

2)x⁵<3 -> 5 ln x < ln 3

-> ln x < ln 35 -> x < ⁵√3 (≈ 1,25)

3) ÷ par un ln négatif

3a)ln(25) < 0 -> sens change

-> n = 8

3b)-> n = 22

📋 Formulaire — Continuité & TVI

Dérivable ⟹ continue · réciproque FAUSSE

Corollaire : continue + strict. monotone + k entre f(a),f(b)

⟹ α UNIQUE

k=0 : signes contraires

Balayage = calculatrice · Dichotomie = Python

📋 Formulaire — ln

e^x=a ⟺ x=ln a · ln(e^x)=x · e^{ln x}=x

ln 1=0 · ln e=1

ln(xy)=ln x+ln y · ln(xy)=ln x−ln y

ln(xⁿ)=n ln x · ln√x=12 ln x

(ln x)′=1x >0 ⟹ strict. croissante

⚠️ Les pièges à éviter

① par morceaux : continuité au raccord

② TVI = existence ; unicité -> strict. monotone

③ « signes contraires » seulement pour k=0

④ f non monotone -> découper en intervalles

⑤ dichotomie : test f(a)·f(m)<0

⑥ ln : x>0 (condition d'existence AVANT)

⑦ ln x² ≠ (ln x)²

⑧ ÷ par ln q (0<q<1)<0 -> sens change

🎤 Grand Oral

« À quoi sert le TVI ? »

prouver qu'une solution existe sans la calculer

température, équilibre de marché, zéro d'un modèle