Sujet officiel — le jour J (en entier)
Exercice 1 — Connexions à des serveurs (probabilités)
A.1 — Compléter l'arbre pondéré
📄 Énoncé
Recopier et compléter l'arbre pondéré modélisant la situation.A.1 — Compléter l'arbre pondéré
✒ Rédaction type
On complète : 1er niveau P(A)=0,25, P(B)=0,15, P(C)=0,60 ; 2e niveau PA(S)=0,90 (donc 0,10), PB(S)=0,80 (donc 0,20), PC(S)=0,85 (donc 0,15).
A : 0,25 · B : 0,15 · C : 0,60 ; stabilité 0,90 / 0,80 / 0,85 (compléments)
A.2 — P(B ∩ S) = 0,12
📄 Énoncé
Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et via B est 0,12.A.2 — P(B ∩ S) = 0,12
✒ Rédaction type
On multiplie le long de la branche B → S : P(B ∩ S) = P(B) × PB(S) = 0,15 × 0,80 = 0,12.
P(B ∩ S) = 0,15 × 0,80 = 0,12
A.3 — P(C ∩ S) & interprétation
📄 Énoncé
Calculer P(C ∩ S) et interpréter.A.3 — P(C ∩ S) & interprétation
✒ Rédaction type
On multiplie : P(C ∩ S) = P(C) × PC(S) = 0,60 × 0,85 = 0,51.
Interprétation : environ 51 % des connexions sont à la fois via C et stables.
P(C ∩ S) = 0,60 × 0,85 = 0,51 (51 % via C et stables)
A.4 — P(S) = 0,855
📄 Énoncé
Démontrer que P(S) = 0,855.A.4 — P(S) = 0,855
✒ Rédaction type
D'après la formule des probabilités totales (A, B, C partition) : P(S) = P(A∩S) + P(B∩S) + P(C∩S).
soit : P(S) = 0,25×0,90 + 0,15×0,80 + 0,60×0,85 = 0,225 + 0,12 + 0,51 = 0,855.
P(S) = 0,225 + 0,12 + 0,51 = 0,855
A.5 — Connexion stable : probabilité via B
📄 Énoncé
La connexion est stable. Probabilité qu'elle vienne du serveur B ? (au millième)A.5 — Connexion stable : probabilité via B
✒ Rédaction type
On applique la définition : PS(B) = P(B ∩ S)P(S) = 0,120,855 ≈ 0,140.
P_S(B) = 0,12 / 0,855 ≈ 0,140
B.1.a — X ∼ 𝓑(50 ; 0,145)
📄 Énoncé
Échantillon de 50 connexions ; X = nombre d'instables. Préciser les paramètres de la loi binomiale.B.1.a — X ∼ 𝓑(50 ; 0,145)
✒ Rédaction type
On a : 50 connexions indépendantes (tirage avec remise), chacune instable avec probabilité 0,145 (partie A) ; X compte les instables.
On en déduit que : X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,145.
X ∼ 𝓑(50 ; 0,145)
B.1.b — P(X ⩽ 8)
📄 Énoncé
Probabilité qu'au plus 8 connexions soient instables (au millième).B.1.b — P(X ⩽ 8)
✒ Rédaction type
On cherche : « au plus 8 » = P(X ⩽ 8).
On calcule (calculatrice) : P(X ⩽ 8) ≈ 0,704.
P(X ⩽ 8) ≈ 0,704
B.2.a — pₙ = 1 − 0,855ⁿ
📄 Énoncé
Échantillon de n ; Xn ∼ 𝓑(n ; 0,145). Exprimer pn = P(au moins une instable).B.2.a — pₙ = 1 − 0,855ⁿ
✒ Rédaction type
On passe au contraire : « au moins une instable » est le contraire de « aucune instable » (Xn = 0).
or : P(Xn = 0) = (1 − 0,145)n = 0,855n.
soit : pn = 1 − P(Xn=0) = 1 − 0,855n.
pₙ = 1 − 0,855ⁿ
B.2.b — Plus petit n avec pₙ ⩾ 0,99
📄 Énoncé
Déterminer la plus petite valeur de n telle que pn ⩾ 0,99.B.2.b — Plus petit n avec pₙ ⩾ 0,99
✒ Rédaction type
On résout : 1 − 0,855n ⩾ 0,99 ⟺ 0,855n ⩽ 0,01.
On applique le logarithme (ln(0,855) < 0 : le sens s'inverse) : n ⩾ ln(0,01)ln(0,855) ≈ 29,4.
soit : n ⩾ 30. On vérifie : 1 − 0,85530 ≈ 0,991 ⩾ 0,99 (et 1 − 0,85529 ≈ 0,989 < 0,99).
n ⩾ 30 : la plus petite valeur est n = 30
B.3.a — E(Fₙ)
📄 Énoncé
Fn = Xn/n (fréquence d'instables). Calculer E(Fn).B.3.a — E(Fₙ)
✒ Rédaction type
On a : E(Xn) = np = 0,145 n.
Par linéarité : E(Fn) = E(Xnn) = E(Xn)n = 0,145 nn = 0,145.
E(Fₙ) = 0,145
B.3.b — P(|Fₙ − 0,145| > 0,1) ⩽ 12,5/n
📄 Énoncé
Vérifier que P(|Fn − 0,145| > 0,1) ⩽ 12,5/n. (On admet V(Fn) = 0,123975/n.)B.3.b — P(|Fₙ − 0,145| > 0,1) ⩽ 12,5/n
✒ Rédaction type
On a : l'évènement (|Fn−0,145| > 0,1) est inclus dans (|Fn−0,145| ⩾ 0,1), donc P(|Fn−0,145| > 0,1) ⩽ P(|Fn−0,145| ⩾ 0,1).
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à Fn (d'espérance 0,145) avec l'écart 0,1 :
P(|Fn − 0,145| ⩾ 0,1) ⩽ V(Fn)0,1² = 0,123975/n0,01 = 12,397 5n
or : 12,397 5 < 12,5, donc 12,397 5n ⩽ 12,5n.
On en déduit que : P(|Fn − 0,145| > 0,1) ⩽ 12,5n.
P(|Fₙ − 0,145| > 0,1) ⩽ P(⩾ 0,1) ⩽ 12,3975/n ⩽ 12,5/n
B.3.c — F₁₀₀₀ = 0,3 : dysfonctionnement ?
📄 Énoncé
Sur 1 000 connexions, F1000 = 0,3. Le responsable soupçonne un dysfonctionnement. A-t-il raison ?B.3.c — F₁₀₀₀ = 0,3 : dysfonctionnement ?
✒ Rédaction type
On a : F1000 = 0,3, donc |F1000 − 0,145| = 0,155 > 0,1.
or : d'après 3.b, P(|F1000 − 0,145| > 0,1) ⩽ 12,51000 = 0,012 5 : un tel écart est très improbable en fonctionnement normal.
On en déduit que : observer F1000 = 0,3 est un évènement de probabilité ⩽ 1,25 % : le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement.
Écart > 0,1 de probabilité ⩽ 0,0125 → dysfonctionnement probable : il a raison